Zur Rehr-Vermutung
Halbes Gegenbeispiel von Richard Jana
Die Rehr-Vermutung war auch Thema in der Vorlesung
"Diskrete und Experimentelle Optimierung", im Sommersemester
2014 an der FSU Jena. Der Student Richard Jana fand mehrere
Beispiele für Polynome vom Grad 5, bei der die Rehr-Vermutung
in einem gewissen Sinne nicht gilt. Alle diese Beispiele haben
drei äussere Nullstellen A, D, E und im Inneren der konvexen
Hülle von A, D, E zwei weitere Nullstellen B und C. Wie im
folgenden Diagramm zu sehen, schliesst der Streckenzug von A nach B
nach C nach D ein kleines Dreieck mit Ecken B, C, X ein.
Wird dieses Dreieck als Inneres des geschlossenen Streckenzuges
A -> B -> C -> D -> E -> A gewertet, so sind die Beispiele von Herrn
Jana keine Gegenbeispiele zur Rehr-Vermutung. Es gibt jedoch ein
Standard-Argument, das die Unterscheidung innen
und aussen anders fasst: "Als Inneres eines geschlossenen
Kantenzuges zählen genau die Punkte Z in der Ebene, für
die ein Strahl, der in Z beginnt und ins Unendliche führt,
den Streckenzug eine ungerade Anzahl von Malen kreuzt. In diesem
Sinn sind die Punkte im Inneren des Dreiecks BCX nicht Inneres,
weil es von ihnen aus zwei Kreuzungen mit dem roten Streckenzug gibt.
Eines der konkreten Beispiele von Richard Jana ist durch folgende
Koordinaten gegeben:
Die Nullstellen des Polynoms fünften Grades sind:
0.3076 + 0.4837i
0.4095 + 0.0549i
0.6099 + 0.0159i
0.4412 + 0.1086i
0.4286 + 0.1531i.
Die zugehörigen Koeffizienten dieses Polynoms sind:
1.0000
-2.1968 - 0.8162i
1.7098 + 1.4985i
-0.5370 - 1.0006i
0.0428 + 0.2863i
0.0053 - 0.0294i.
Als Koeffizienten der Ableitung ergeben sich:
5.0000
-8.7872 - 3.2648i
5.1294 + 4.4956i
-1.0741 - 2.0011i
0.0428 + 0.2863i.
Die Nullstellen der Ableitung sind (gerundet):
0.5657 + 0.0391i
0.4332 + 0.1334i
0.3374 + 0.4040i
0.4211 + 0.0764i.
Dabei sind bis auf die Nullstellen der Ableitung alle Werte exakt.
(Durch Kürzen der Koeffizienten der Ableitung wäre eine
Ziffer hinzu gekommen, was in MATLAB das Ablesen erschwert.
Deshalb sind die Werte hier ungekürzt genannt.)
Die Nullstellen der Ableitung sind auf vier Nachkommastellen gerundet.
Die Koeffizienten beginnen beim jeweils grössten Exponenten und
steigen dann der Reihe nach ab.
Gefunden hat Herr Jana die Gegenbeispiele mit dem Monte-Carlo-Ansatz.
Er hat zufällige Mengen von fünf Punkten in der
komplexen Zahlenebene generiert und dann überprüft, ob
bzw. in welchem Sinn die Rehr-Vermutung erfüllt ist. Bei drei
Millionen Beispielen gab es Gegenbeispiele im Sinne von oben in etwa
1,2 Promille der Fälle.
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