Reise nach Jerusalem

Zuordnungen a la Gerhard Schmeisser

Professor Gerhard Schmeisser hat vorgeschlagen, die Zuordnungen der Nullstellen eines Polynoms zu denen seiner Ableitung über Polynome zu machen, deren Koeffizienten sich stetig ändern. Für jedes lambda zwischen 0 und 1 wird das Polynom

f_lambda = (1-lambda)*f + lambda*f'

betrachtet. lambda=0 gibt das ursprüngliche Polynom f (vom Grad n), und bei lambda=1 ist man bei der Ableitung f' angelangt. Die Nullstellen von f_lambda ändern sich stetig mit lambda. Für alle lambda < 1 hat f_lambda den gleichen Grad n wie f, also auch genau so viele Nullstellen.
f_lambda ist auch für alle anderen lambda ungleich 1 (also solche > 1 und solche < 0) ein Polynom vom Grad n. In den folgenden Diagrammen sind die Nullstellen für alle f_lambda zwischen -3 und +1 angezeigt. Dunkelblaue Punkte sind die Nullstellen von f selbst. Rote Kreuzchen markieren die Nullstellen der Ableitung f'. In allen Diagrammen der ersten Serie hat f fünf Nullstellen, nämlich -2, -1, +1, +2 und die fünfte Nullstelle bei p*i (also rein imaginär) für reelle Werte p zwischen 1 und 2.

Das Programm zur Berechnung aller Nullstellen und für die Visualisierung hat im Sommer 2013 der sehr kompetente Student Patrick Wieschollek geschrieben. Ihm gilt mein Dank dafür!

Polynom vom Grad 5 mit einer variablen Nullstelle



p=1.00


p=1.30


p=1.40


p=1.45


p=1.46


p=1.47


p=1.50


p=2.00

Die Nullstellen von f' hängen stetig von p ab. Bis p = 1.45 gibt es zwei Nullstellen mit deutlich positivem Imaginärteil, die nebeneinander liegen. Dann, für p > 1.45, "läuft die eine nach oben weg" und die andere sackt nach unten ab. An der gleichen Stelle (nahe p=1.45) ändert sich die Struktur der Kurven aus den f_lambda-Nullstellen. Für kleinere p sieht man, dass es insgesamt einen Pfad gibt, der durch alle Nullstellen von f und f' geht. Für die grossen p hat sich aber ein "Zykel" mit nur einer f- und einer f'-Nullstelle nach oben abgespalten.


Ein Polynom vom Grad 16


Eingezeichnet sind nur die Nullstellen der f_lambda für lambda zwischen 0 und 1.


Jetzt sind die Nullstellen für alle lambda zwischen -10 und +11 zu sehen. Die hellblauen Punkte gehören zu Nullstellen für Lambda-Werte ausserhalb von [0,1].


Hier sind nicht f und f' konvexkombiniert, sondern f und ihre zweite Ableitung f''. Weil bei f'' also zwei Nullstellen gegenüber f "fehlen", gibt es zwei Fäden, die ins Unendliche laufen.


Für f und die dritte Ableitung f''' habe ich einen gröberen Mass-Stab gewählt. So sieht man besser, wohin die insgesamt drei offenen Fäden ins Unendliche laufen.



Noch ein Polynom vom Grad 5

Das Polynom hat die vier Nullstellen 0, 2, 3+i und 4. Zusätzlich hat es eine weitere Nullstelle mit Realteil 0 und positivem Imaginärteil q. Je nach der Grösse von q ergibt sich ein anderer Verlauf der Nullstellen-Kurve(n).


q=0.55 .
Bei Realteil 0 gibt es oben einen kleinen Zyklus.


Noch einmal q=0.55 .
Hier ist der interessante Teil in Vergrösserung gezeigt.



Jetzt ist q=0.50 .
Insgesamt gibt es nur eine Kurve, die alle Nullstellen von f und f' enthält. Bei Realteil 0 macht die Kurve einen tollen S-Schlenker.



Jetzt ist q=0.46 .
Wieder gibt es bei Realteil 0 einen kleinen Zyklus. Diesmal enthält er aber die untere der beiden Nullstellen.



GIF-Filme von Justin Kaufmann

In seiner Masterarbeit hat Justin Kaufmann 2021 kleine GIF-Filme erzeugt. Jedes Einzelbild zeigt die Kurven zu Nullstellen und Ableitungs-Nullstellen, wobei von Bild zu Bild eine der f-Nullstellen wandert, ausgelöst durch einen Faktor mü vor der Nullstelle. Man sieht an der Sequenz, wie sich die Gebilde eigentlich stetig ändern, aber mit gelegentlichen Sprungstellen.



In diesem Beispiel hat f Grad 4. Die vier f-Nullstellen sind durch Sternchen markiert, die Nullstellen von f' duch Kuller. Am Ende der Sequenz sind die Nullstellen explizit als Dezimalzahlen angegeben.



Das erste Beispiel für ein Polynom vom Grad 6.



Das zweite Beispiel für ein Polynom vom Grad 6.


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